Tam giác nhọn là gì? Cách vẽ tam giác nhọn

Hình tam giác là gì?

Tam giác hay hình tam giác là một loại hình cơ bản trong hình học: hình hai chiều phẳng có ba đỉnh là ba điểm không thẳng hàng và ba cạnh là ba đoạn thẳng nối các đỉnh với nhau. Tam giác là đa giác có số cạnh ít nhất (3 cạnh). Tam giác luôn luôn là một đa giác đơn và luôn là một đa giác lồi (các góc trong luôn nhỏ hơn 180°). Một tam giác có các cạnh AB, BC và AC được ký hiệu là $821677f03b63c3c2e448dffc2ae9c8eea31d9d48$ .

Các góc trong hình tam giác có tổng là 180 độ. Các góc trong một tam giác được gọi là góc trong. Các góc kề bù với góc trong được gọi là góc ngoài. Góc ngoài thì bằng tổng các góc trong không kề bù với nó. Mỗi tam giác chỉ có 3 góc trong và 6 góc ngoài.

Tam giác nhọn là gì?

Tam giác nhọn là tam giác abc có 3 góc nhọn có số đo nhỏ hơn 90 độ. Lưu ý, tam giác vuông và tam giác tù không phải là tam giác nhọn; tam giác nhọn yêu cầu cả 3 góc, mỗi góc đều nhỏ hơn 90 độ.

Tính chất tam giác nhọn abc

Tổng các góc trong của một tam giác bằng 180° (định lý tổng ba góc trong của một tam giác).

Độ dài mỗi cạnh lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh kia và nhỏ hơn tổng độ dài của chúng (bất đẳng thức tam giác).

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Ngược lại, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác).

Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là trực tâm của tam giác (đồng quy tam giác).

Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác. Hay còn gọi là ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm( đồng quy tại một điểm có nghĩa là cùng đi qua 1 điểm). Khoảng cách từ trọng tâm đến 3 đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó. Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau (đồng quy tam giác).

Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác (đồng quy tam giác).

Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác (đồng quy tam giác).

Định lý hàm số cosin: Trong một tam giác, bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai canh còn lại trừ đi hai lần tích của độ dài hai cạnh ấy với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó.

Định lý hàm số sin: Trong một tam giác tỷ lệ giữa độ dài của mỗi cạnh với sin của góc đối diện là như nhau cho cả ba cạnh.

Đường trung bình là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác; một tam giác có ba đường trung bình. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh đó. Tam giác mới tạo bởi ba đường trung bình trong một tam giác thì nó đồng dạng với tam giác chủ của nó.

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thẳng tỷ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn thẳng đó.

Tam giác nhọn nội tiếp đường tròn

Đường phân giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến cạnh đối diện và chia góc ở đỉnh làm 2 phần có số đo góc bằng nhau. Mỗi tam giác chỉ có ba đường phân giác. Ba đường này đồng quy tại một điểm. Điểm đó có tên gọi là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Khoảng cách từ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác tới các cạnh là bằng nhau. Đường phân giác đi qua một góc của một đinh tam giác thì chia cạnh đối diện của góc đó những đoạn tỉ lệ với hai cạnh còn lại của tam giác.

tam giac nhon abc noi tiep duong tron — *Tam giác nhọn nội tiếp đường tròn*

Tam giác nhọn ngoại tiếp đường tròn

Đường trung trực của một tam giác là đường vuông góc với một cạnh của tam giác đó tại trung điểm. Mỗi tam giác chỉ có ba đường trung trực. Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đó có tên gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

tam giac nhon abc ngoai tiep duong tron — *Tam giác ngọn ngoại tiếp đường tròn*

Theo định lý Euler: Trong một tam giác: trực tâm, trọng tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cùng thuộc một đường thẳng, trọng tâm sẽ nằm giữa trực tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, từ trực tâm đến tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác sẽ bằng 3 lần từ trọng tâm đến tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng chứa ba điểm đó được gọi là đường thẳng Euler.

Đường thẳng Euler

Đối với các đường đồng quy của một tam giác (đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác), ta có thể nhận xét như sau:

Trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp luôn luôn nằm trong tam giác.

Trực tâm nằm ngoài tam giác khi đó là tam giác tù, trùng với đỉnh góc vuông khi đó là tam giác vuông, nằm bên trong khi đó là tam giác nhọn.

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm ngoài tam giác khi đó là tam giác tù, trùng với cạnh (là trung điểm của cạnh huyền) khi đó là tam giác vuông, nằm bên trong tam giác khi đó là tam giác nhọn.

Trong một tam giác cân: trực tâm, trọng tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm của đường tròn nội tiếp tam giác sẽ thẳng hàng với nhau. Đường thẳng đó chính là đường trung tuyến, đồng thời cũng là đường phân giác, đường trung trực và đường cao ứng với cạnh đáy.

Trong một tam giác đều: trực tâm, trọng tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm của đường tròn nội tiếp tam giác trùng nhau. Các cặp đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao cũng trùng nhau.

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh trong một tam giác. Đường trung bình có tính chất: song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh thứ ba.

Cách vẽ tam giác nhọn abc

Để vẽ tam giác thường đơn giản nhất, trước tiên bạn lấy 3 điểm bất kỳ trên giấy, sau đó lấy thước kẻ nối các điểm với nhau, vậy là ta đã có một hình tam giác bất kỳ. Trường hợp muốn vẽ hình tam giác khi biết số đo các cạnh ta thực hiện như sau:

cach ve tam giac nhon — *Cách vẽ tam giác nhọn abc*

Ví dụ: Vẽ tam giác ABC biết BC = 6cm, AB = 2cm; AC = 5cm. Ta thực hiện lần lượt các bước dưới đây:
Trước tiên, ta vẽ đoạn thẳng BC = 6cm, sau đó vẽ cung tròn tâm B bán kính bằng 2cm và vẽ cung tròn tâm C bán kính bằng 5cm.
Ta được giao điểm của hai cung tròn gọi là điểm A. Ta nổi các đoạn thẳng AB; AC, như vậy ta có được tam giác ABC theo yêu cầu đề bài đã đặt ra.

Công thức tính diện tích tam giác nhọn

Tính diện tích tam giác bằng hình học

Diện tích S bằng ½bh, trong đó b là độ dài của một cạnh bất kỳ của tam giác (thường gọi là đáy) và h là độ dài đường cao hạ từ đỉnh đối diện xuống cạnh ấy.

Từ một tam giác (màu xanh lục), ta sẽ sao một tam giác bằng nó,(màu xanh lam), quay góc 180°, và ghép chúng thành hình bình hành. Cắt một phần của hình bình hành, ghép lại thành hình chữ nhật. Vì diện tích hình chữ nhật là bh, nên diện tích tam giác là ½bh.

dien tich tam giac ngon bang hinh hoc — *Diện tích tam giác bằng hình học*

Nói cách khác, diện tích tam giác bằng độ dài cạnh đáy nhân với chiều cao chia 2: $S={\frac {1}{2}}bh$ Đặc biệtTam giác vuông thì diện tích sẽ tính là một nửa tích hai cạnh góc vuông hoặc nửa tích đường cao với cạnh huyền.Tam giác đều thì diện tích sẽ tính là bình phương 1 cạnh nhân với ${\frac {\sqrt {3}}{4}}$ .

Tính diện tích tam giác nhọn bằng vectơ

Nếu tứ giác ABDC là hình bình hành thì diện tích của nó được tính bởi công thức:

trong đó $[{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}]$ là tích có hướng của hai vectơ ${\overrightarrow {AB}}$ và ${\overrightarrow {AC}}$ .

Diện tích tam giác ABC bằng một nửa diện tích của hình bình hành ABDC nên:

Tính diện tích tam giác nhọn bằng lượng giác

tinh dien tich tam giac nhon bang luong giac

Vì $h=a.\sin \gamma \,$ và $S={\frac {1}{2}}.b.h$ nên ta có:

sin⁡ $S={\frac {1}{2}}.a.b.\sin \gamma$

Một số bài tập áp dụng tính diện tích hình tam giác nhọn

Bài tập 1: Tính diện tích của hình tam giác nhọn biết:
a. Độ dài của đáy là 16 m, chiều cao 13 cm.
b. Độ dài đáy 8 cm và chều cao 5 cm.

Lời giải:
a. Áp dụng công thức tính diện tích của tam giác thường ta có diện tích của hình tam giác là:
(16 x 13):2 = 104 (cm2).
b. Diện tích cua hình tam giác là:
(8 x 5):2 = 20 (cm2).

Bài tập 2: Tính diện tích của tam giác vuông với
a. Hai cạnh của góc vuông lần lượt là 6 cm và 8 cm.
b. Hai cạnh của góc vuông lần lượt là 12 cm và 18 cm.

Lời giải:
a. Diện tích của tam giác là: (6 x 8):2 = 24 (cm2)
b. Diện tích của tam giác là: (12 x 18):2 = 108 (cm2).

Bài tập 3: Hãy tính diện tích của tam giác cân có
a. Độ dài của cạnh đáy bằng 15 cm và đường cao là 13 cm.
b. Độ dài của cạnh đáy bằng 51 m và đường cao là 32 m.

Lời giải:
a. Diện tích của tam giác bằng: (15 x 13):2 = 97,5 (cm2)
b. Diện tích của tam giác là: (51 x 32) : 2 = 816 (m2).

Xem thêm: Hình bát giác là gì?

Ví dụ cho tam giác nhọn abc tính chu vi tam giác

Ví dụ 1:
A = (2, 3), B = (5, 7), C = (9, 1)

Để tính độ dài các cạnh, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ Descartes:
AB = √[(5 – 2)² + (7 – 3)²] = √(3² + 4²) = 5
AC = √[(9 – 2)² + (1 – 3)²] = √(7² + 2²) ≈ 7.28
BC = √[(9 – 5)² + (1 – 7)²] = √(4² + 6²) ≈ 7.21
Vậy chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = 5 + 7.28 + 7.21 ≈ 19.49

Ví dụ 2:
A = (1, 2), B = (4, 3), C = (3, 5)

AB = √[(4 – 1)² + (3 – 2)²] = √(3² + 1²) ≈ 3.16
AC = √[(3 – 1)² + (5 – 2)²] = √(2² + 3²) ≈ 3.61
BC = √[(3 – 4)² + (5 – 3)²] = √(1² + 2²) ≈ 2.24
Vậy chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = 3.16 + 3.61 + 2.24 ≈ 9.01

Ví dụ 3:
A = (-1, -2), B = (2, -1), C = (0, 3)

AB = √[(2 – (-1))² + (-1 – (-2))²] = √(3² + 1²) ≈ 3.16
AC = √[(0 – (-1))² + (3 – (-2))²] = √(1² + 5²) ≈ 5.10
BC = √[(0 – 2)² + (3 – (-1))²] = √(2² + 4²) ≈ 4.47
Vậy chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = 3.16 + 5.10 + 4.47 ≈ 12.73

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), Các đường cao BD , CE ( D thuộc AC , E thuộc AB ) của tam giác kéo dài lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm M và N ( M khác B , N khác C ). Chứng minh tứ giác BCDE nộit tiếp được trong 1 đường tròn.

Một tam giác nhọn được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn nếu ba đỉnh của tam giác đều nằm trên một đường tròn. Điều này có nghĩa là đường tròn này tiếp xúc với đoạn thẳng nối giữa các đỉnh của tam giác ở các điểm trên đường tròn.
Trong một tam giác nội tiếp đường tròn, các đường cao, trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực đều đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Đồng thời, mỗi góc của tam giác bằng nửa tổng của hai góc ở tâm của hai cung tương ứng trên đường tròn.
Các tính chất của tam giác nội tiếp đường tròn là rất quan trọng trong hình học Euclid, đặc biệt là trong các vấn đề liên quan đến tính toán đường tròn và tam giác.

Để chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp trong đường tròn, ta cần chứng minh góc BCE = góc BDE.

Ta có:

Góc BCE = góc BCO (vì BC là đường cao nên góc BCE là góc giữa BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại O, do đó góc BCE bằng góc ở tâm tương ứng trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Góc BDE = góc BMN (vì BD là đường cao nên góc BDE là góc giữa BD và đường tròn (O) tại N, do đó góc BDE bằng góc BMN ở tâm tương ứng trên đường tròn (O)).
Vì BMNC là tứ giác nội tiếp (do M và N đều nằm trên đường tròn (O)), nên ta có:
góc BMN + góc BCN = 180 độ (do đây là góc ở tâm chắn cùng một cung MN, BC)
Tương tự, ta cũng có:
góc CNM + góc CBM = 180 độ (do đây là góc ở tâm chắn cùng một cung MN, CB)
Tổng hai phương trình trên ta được:
góc BMN + góc CNM + góc BCN + góc CBM = 360 độ
Vì góc BMN = góc BDE và góc BCN = góc BCE, nên ta có:
góc BDE + góc BCE + góc CBM + góc CNM = 360 độ

Tức là tứ giác BCDE nội tiếp trong đường tròn với góc BCE = góc BDE. Do đó, ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.

Tam giác nhọn